La Regla de Bayes
En la base de todos los
métodos y técnicas bayesianas se encuentra la regla de Bayes, una fórmula
sencilla que sin embargo no voy a escribir. La fórmula debe su nombre
a Thomas Bayes, un clérigo presbiteriano y, aún más importante para lo
que nos ocupa, miembro de la Royal Society. Su trabajo, junto con el de
La place, asentó los cimientos de la estadística bayesiana.
La regla de Bayes suele
utilizarse con dos fines diferentes. Por un lado permite actualizar nuestras
"creencias" o experiencia previa a la luz de nuevos datos o
información. Este sería el caso, por ejemplo, de el análisis de si un juego de
azar está o no trucado: tras recoger los resultados de varias partidas podemos
corregir nuestros prejuicios. En otras ocasiones se usa para invertir los
papeles de la variable aleatoria y el suceso que la condiciona. Este es el caso
que se mencionaba al final de la ultima entrada.
- La
probabilidad a priori de que suceda algo o, abusando bastante del
lenguaje, prior a secas. Este valor se obtiene típicamente cuantificando nuestros prejuicios aunque en muchas
ocasiones puede estimarse mediante otros métodos.
- La
verosimilitud de los datos, esto es, la probabilidad de que se den los
datos bajo el supuesto de que la hipótesis es verdadera.
- La evidencia de los datos o, dicho en otras palabras, la probabilidad de que se hayan dado los datos que efectivamente se han dado no solo bajo la hipótesis considerada, sino también sobre cualquier otra. Este valor es normalmente costoso y difícil de calcular por lo que, aprovechando que es un factor que no depende de la hipótesis que analizamos, suele omitirse.
El resultado que se obtiene es
la probabilidad de que la hipótesis sea cierta una vez se tienen en cuenta los
datos. A este valor se le denomina probabilidad a posteriorio, nuevamente
abusando del lenguaje, posterior.
Para aclarar un poco todo lo
anterior vamos a repasar lo dicho sobre un ejemplo típicamente académico.
Aquellos interesados en entender el significado de los conceptos arriba
presentados pueden leérselo sin pararse en los números concretos. Proponemos el siguiente
experimento.
- Tenemos
dos urnas con bolas. La primera contiene dos bolas blancas y
siete negras, mientras que la segunda contiene cuatro blancas y una negra.
- Tiramos
un dado: si sale 1, 2, 3 o 4 escogemos la primera urna y si sale 5 o 6 nos
quedamos con la segunda.
- Sacamos una bola al azar de la urna seleccionada.
Ahora realizamos el
experimento, sacamos una bola blanca y nos preguntamos por cuál es la
probabilidad de que haya salido de la primera urna. Parece que la pregunta que
podemos responder fácilmente es la "inversa", esto es, cómo de
verosímil es que salga bola blanca de la primera urna. Esa probabilidad
es de 2 /10. El valor de la probabilidad a priori (antes de sacar la bola)
también es sencillo de calcular, 4 / 6, según las reglas para seleccionar la
caja que hemos conocemos.
El último número que tenemos que calcular es la
denominada evidencia de los datos, la probabilidad de que saquemos una bola
blanca independientemente de qué caja salga. Como ya adelantamos antes este
valor es el más difícil de calcular; aquí nos limitaremos a indicar que el que
saquemos la bola de una u otra urna son sucesos independientes y de que por lo
tanto la probabilidad detrás de la que andamos es la suma de las probabilidades
de que salga de una u otra urna convenientemente ponderadas. Con dos
multiplicaciones y una suma obtenemos que la evidencia de los datos es de 2 / 5.
Una vez se combinan estos tres
valores en la regla de Bayes se obtiene que la probabilidad de que hayamos
extraído la bola de la primera urna sabiendo que era de color blanco, 1 / 3
exactamente. Nótese que antes de sacar la bola esperábamos que en cuatro de
cada seis ocasiones la bola saliese de la primera urna pero que al realizar el
experimento y obtener un suceso poco probable bajo nuestra hipótesis la
probabilidad a priori baja sensiblemente.
La regla
de Bayes es un caso especial de la probabilidad condicional que se aplica
cuando se desea calcular la probabilidad condicional de un evento que ocurrió
primero dado lo que ocurrió después. Para llegar a establecer tan útil regla
vamos a estudiar una proposición previa.
Referencias
athlas. (2015). la regla de bayes. 2015, de 2013 Sitio web: http://www.mathlas.com/index.php/component/k2/item/21-regla_de_bayes/21-regla_de_bayes
522 for ever. (2009). Regla de Bayes. 2009, de 522 for ever Sitio web:
http://probabilidadcecyte.blogspot.mx/2009/01/ley-de-bayes.html
No hay comentarios:
Publicar un comentario