2.4 Probabilidad con tecnicas de conteo

Tecnicas de Conteo

El número de posibles resultados de un experimento es pequeño, es relativamente fácil listar y contar todos los posibles resultados. Al tirar un dado, por ejemplo, hay seis posibles resultados. Sin embargo, cuando hay un gran número posible de resultados, pongamos el caso de lanzar 5 dados y ver las posibles combinaciones de números, resulta engorroso listar y contar todas las posibilidades. En estos casos se utilizan técnicas que se denominan técnicas de conteo. Veremos las fundamentales, con ejemplos muy sencillos.

Técnica aditiva:

Si se desea realizar una actividad o experiencia de i formas alternativas, donde cada alternativa tiene A_i maneras de realizarse, el número total de posibilidades de realizarla es:

Ejemplo:
Se desea adquirir un aditivo para un alimento y se dispone de las siguientes posibilidades:

Aditivo de la compañía A: Dos formulaciones distintas en dos presentaciones-

Aditivo de la compañía B: 1 formulación en tres presentaciones.

Aditivo de la compañía C: 2 formulaciones en 3 presentaciones-

Esto nos da 4 maneras de hacer la compra para la compañas A, 3 para la B y 6 para la C. Por tanto: F_T = 4+3+6 = 13

Técnica multiplicativa:

Si se desea realizar una actividad que consta de i pasos o etapas, en donde cada paso puede realizarse de Ai maneras o formas, el número total de alternativas para realizarla es:

Ejemplo:
Se desea hacer un proceso que consta de tres etapas sucesivas de calentamiento, enfriamiento y reposo. La primera etapa puede hacerse en dos equipos diferentes, la etapa de enfriamiento puede ser llevada a cabo empleando tres variantes en la forma de refrigerar y en el reposo se puede añadir o no un preservante (recuerden que esto es un caso hipotético).

Tenemos entonces que F_T = 2*3*2 = 12

Las otras dos técnicas provienen del análisis combinatorio. Veremos las permutaciones y las combinaciones (que espero recuerden de estudios anteriores).

Permutaciones:

Cuando seleccionamos r objetos de un grupo de n objetos, siendo importante el orden en que se disponen los elementos (o sea son distinguibles los elementos), el número posible de arreglos, que se denomina número de permutaciones posibles es:

Ejemplo:

Se dispone de la posibilidad de emplear 2 componentes, para mejorar las propiedades y textura de un alimento, pudiéndose seleccionar de entre 4 productos. Por cuestiones logísticas y de otra índole es importante el orden en que añaden.

¿Cuántas posibilidades hay?

Aplicando la fórmula:

O sea tenemos 12 maneras diferentes de hacer la formulación. Llamando A, B, C y D a los productos tendríamos:

AB  BA     AC CA     AD DA     BC CB     BD DB     CD DC

Siendo sencillo este caso, nos resultó fácil listar los casos posibles. Sin embargo, si en lugar de poder escoger entre 4 productos, escogiéramos entre 5, el número de casos es de 60.

Combinaciones:

Cuando seleccionamos r objetos de un grupo de n objetos, y no es importante el orden en que se disponen los elementos (o sea no son distinguibles los elementos), el número posible de arreglos, que se denomina número de combinaciones posibles es:

Utilizando el mismo ejemplo de las permutaciones tendremos que:

Cómo  no importa el orden de los elementos, de las opciones que listamos para el ejemplo de las permutaciones, nos quedan sólo 6:

AB   AC   AD   BC   BD   CD

Siendo AB = BA, etc.

La última técnica es la de los diagramas de árbol. Se utiliza para secuencias donde en cada etapa hay alternativas finitas para la ocurrencia de un suceso. Se parte de una raíz y las ramas son las diferentes alternativas. Por ejemplo, supongamos que tenemos la posibilidad de preparar un concentrado alimenticio, donde al principio tenemos para escoger entre el aditivo A y el B. En la segunda etapa se le añade otro ingrediente y podemos escoger entre los productos C y D. El diagrama de árbol quedaría:

Y las opciones para la preparación del alimento son AC, AD, BC, BD.

En Conclusión se puede decir que las técnicas de conteo son aquellas que son usadas para enumerar eventos difíciles de cuantificar. La enumeración de puntos muestrales en un espacio muestral, en ocasiones es difícil y laboriosa por la cantidad de puntos a contar o enumerar, propiciando que se puedan cometer errores al emprender esa tarea.

Referencias: 

Jose Luis Hernandez. (2011). Tecnicas de Conteo. 2011, de navarrof.orgfree Sitio web: http://navarrof.orgfree.com/Docencia/MatematicasIII/M3UT1/tecnicas_de_conteo.htmJose Luis Hernandez. (2011). Tecnicas de Conteo. 2011, de navarrof.orgfree Sitio web: http://navarrof.orgfree.com/Docencia/MatematicasIII/M3UT1/tecnicas_de_conteo.htm

Pepe Torre. (2011). Tecnicas de conteo. 9 Dicembre 2011, de Slideshare Sitio web: https://es.slideshare.net/valentintrs/tcnicas-de-conteo-10538178