2.3 Probabilidad de eventos

Probabilidad de eventos

Definición de Espacio muestral (E): es el conjunto de los diferentes resultados que pueden darse en un experimento aleatorio o cuando se realiza un experimento, que es cualquier proceso que produce un resultado o una observación, se van a obtener un conjunto de valores. A este conjunto de valores que puede tomar una variable se le denomina espacio muestral.

Por ejemplo: Si se tiene un dado cualquiera, el espacio muestral (EM) es EM={1,2,3,4,5,6}.

Experimento {Lanzar un dado}, E={1,2,3,4,5,6}

Experimento {Lanzar una moneda}, E={Cara, Cruz}

*Definición de evento o sucesos*

La probabilidad clásica de un evento E, que denotaremos por P(E), se define como el número de eventos elementales que componen al evento E, entre el número de eventos elementales que componen el espacio muestral:

Cuando se tiene un espacio muestral llamamos, formalmente evento o suceso a cualquier subconjunto del espacio muestral.

Decimos que un suceso se realiza, cuando el resultado del experimento aleatorio es uno de los sucesos posibles. 

Se llama evento o suceso a todo subconjunto de un espacio muestral. Por ejemplo en el espacio muestral E = {1, 2, 3, 4, 5, 6} del lanzamiento de un dado, los siguientes son eventos:

1. Obtener un número primo A = {2, 3, 5}

2. Obtener un número primo y par B = {2}

3. Obtener un número mayor o igual a 5 C = {5, 6}

*Simbología, uniones e intersecciones.*

1. A, B, C… = conjuntos.

2. a ,b ,c… = elementos de conjuntos

3. U = unión de conjuntos

4. ∩ = intersección de conjuntos

5. A‟ = complemento de un conjunto

6. / = dado que

7. \ diferencia

8. < > = diferente de

9. ( ) = Conjunto nulo o vacio

10. R = conjunto de los números reales

11. N = conjunto de los números naturales

12. C = conjunto de los números complejos

13. n! = factorial de un numero entero positivo

14. Q= conjunto de los números fraccionarios

15. I = conjunto de los números irracionales

16. c = subconjuntos { }= llaves. 

Conjuntos vacíos Si A y B son dos subconjuntos de un conjunto S, los elementos que pertenecen a A, a B o a ambos forman otro subconjunto de S llamado unión de A y B, escrito A U B. Los elementos comunes a A y B forman un subconjunto de S denominado intersección de A y B, escrito A& cap.  B.

Si A y B no tienen ningún elemento común se denominan conjuntos disjuntos ya que su intersección no tiene ningún elemento, y siendo conveniente representar esta intersección como otro conjunto, éste se denomina conjunto vacío o nulo y se representa con el símbolo Ø. Por ejemplo, si A = {2, 4, 6}, B = {4, 6, 8, 10} y C = {10, 14, 16, 26}, entonces A U B = {2, 4, 6, 8, 10}, A U C = {2, 4, 6, 10,14,

16, 26}, A ∩ B = {4, 6} y A ∩ C = Ø.

*Diagrama de Venn*

Los Diagramas de Venn se basan fundamentalmente en representar los conjuntos matemáticos con unas “circunferencias”. Con estas circunferencias el estudiante realiza una serie de operaciones como la  unión, la intersección, etc. Podríamos decir que el manejo de los Diagramas de Veen sirven para orientar al estudiante, son una herramienta metodológica que tiene el profesor para explicar la Teoría de Conjuntos.  

Pues bien vamos a citar a continuación los ejemplos más importantes de los Diagramas de Veen.

Diagrama de la intersección de dos conjuntos.

En teoría la intersección de dos conjuntos podemos definir que es la parte común que tienen dos conjuntos, si es que existe(Ejemplo de inexistencia: la intersección de los números pares con los impares). Pues el diagrama que viene a continuación representa dicha situación.

La intersección de los conjuntos A y B es la parte azulada, en efecto vemos que la parte común que comparte el conjunto A con el B es la parte azul.

En matemáticas la intersección se representa A∩B.

Diagrama de la intercesión vacía (no hay ningún elemento común) En efecto, se observa que ambos conjuntos no tienen ninguna parte común. Esto se le llama en Matemáticas conjunto vacío y se representa:

Ø

En teoría la unión de dos ocnjuntos podemos definir como la una "suma" de un conjunto con otro. Pues el diagrama que se muestra a continuación representa la situación descrita anteriormente.

Diagrama  de la unión de dos conjuntos.

La unión de los conjuntos A y B es la parte colorada, podemos ver que se han sumado el conjunto A y el B. En matemáticas la unión se representa AUB.

Diagrama del complementario de un conjunto.

En teoría el complementario de un conjunto se hace en referencia a un conjunto universal y se define como los elementos que no pertenecen al conjunto. Tan raro se entiende mejor con el siguiente diagrama. El conjunto U es el universal (parte amarilla y blanca) y el complementario de A es solo la parte amarilla del dibujo. El complementario de un conjunto se representa A^c

Diagrama de la diferencia de conjuntos.

La diferencia B - A es la parte de B que no está en A. La diferencia de conjuntos en matemáticas se expresa B/A, para este caso.

Diagrama de la inclusión de conjuntos. En el diagrama se puede observar el conjunto B esta contenido (o incluido) en el conjunto A. Esto matemáticamente se expresa B|A.

Con estos diagramas se pueden representar la gran mayoría de las operaciones con conjuntos. Pero, las aquí expuestas son las fundamentales a partir de ellas se obtienen las demás

Referencias:

luis jacobo. (2012). Tecnicas de conteo. 2012, de Institulo Manriquez Sitio web: http://probabilidadestadistic.blogspot.mx/2010/09/tecnicas-de-conteo.html